2018年中国科学院大学硕士研究生入学考试高等代数考试大纲考试内容

（一） 多项式

1． 一元多项式的因式、带余除法公式及互素的概念及判别；

2． 复根存在定理；

3． 根与系数关系；

4． Sturm定理。

（二） 行列式

1． 行列式的置换、对换、置换奇偶性；

2． 行列式的定义，基本性质及计算；

3． Vandermonde行列式；

4． 行列式的代数余子式、Cramer法则。

（三） 矩阵

1． 矩阵基本运算、分块矩阵运算；

2． 初等矩阵、初等变换和矩阵的秩；

3． 矩阵的逆、伴随阵、线性方程组的矩阵形式；

4． 行列式乘积定理；

5． 矩阵和转置、Hermite共轭；

6． 对角阵、三角阵、三对角阵；

7． 矩阵的迹、方阵多项式；

8． 广义逆矩阵。

（四） 线性方程组求解

1． 线性方程组有解的充分必要条件；

2．Gauss消元法；

3．三角分解。

（五） 线性空间和线性变换；

1． 向量的线性相关和线性无关；

2． 线性空间的定义及性质；

3． 向量组的秩、线性空间的基及坐标；

4． 线性变换的矩阵表示；

5． 矩阵相似；

6． 不变子空间；

7． 子空间的直接和、维数公式；

8． 线性空间的同构。

（六） 特征值和特征向量

1． 特征值和特征多项式；

2． 特征向量、特征子空间、度数和重数；

3． 非亏损矩阵的完全特征向量系和谱分解；

4． 特征值估计的圆盘定理；

5． 三对角矩阵的特征值与Sturm定理。

（七） 内积空间和等积变换

1． Euclid空间的标准正交基，施密特（Schmidt）正交化；

2． Gram行列式；

3． 正交变换及其矩阵表示；

4． 初等旋转和镜像变换；

5． QR分解；

6． 酉空间和酉变换；

7． 正交相似变换和酉相似变换；

8． 向量到子空间的距离、小二乘。

（八） 二次型和对称矩阵

1． 二次型及其标准形、惯性定理；

2． 实对称矩阵正定的充分必要条件；

3． Rayleign商；

4． 极大－极小原理、极小－极大原理；

5． 正定矩阵的开方和Cholesky分解；

6． Hermite型和Hermite矩阵；

7． 正规矩阵。

（九） Jordan标准形

1． 向量的小化零多项式；

2． 线性变换及矩阵的小多项式；

3． 矩阵的Jordan标准形及其唯一性；

4． 初等因子和不变因子；

5． 矩阵函数。

（十） 极限和范数

1． 向量和矩阵的极限；

2． 向量范数和范数等价定理；

3． 相容范数和从属范数；

4． 矩阵依范数的收敛性。